مرکز داده: میانگین، میانه و مد

یک عدد برای «حالت معمول»

فرض کنید حقوق ماهانه‌ی ۷ نفر در یک استارتاپ (میلیون تومان) این است:

«حقوق معمولی» اینجا چقدر است؟ سه پاسخ رایج:

• میانگین (mean): جمع داده‌ها تقسیم بر تعدادشان: $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i = \dfrac{192}{7} \approx 27.4$
• میانه (median): مقدار وسط داده‌های مرتب‌شده (برای تعداد زوج، میانگین دو عدد وسط). اینجا ۱۸.
• مد (mode): پرتکرارترین مقدار. اینجا ۱۵ (دو بار آمده).

میانگین ۲۷٫۴ است، ولی شش نفر از هفت نفر کمتر از آن می‌گیرند! دلیلش یک عدد پرت (۹۰، مثلاً حقوق مدیرعامل) است. میانگین به هر عدد حساس است؛ میانه فقط به ترتیب نگاه می‌کند و تقریباً تکان نمی‌خورد.

کدام را کِی؟

• میانگین: وقتی توزیع تقریباً متقارن است و پرت شدید ندارد، و وقتی می‌خواهید با آن محاسبه کنید (جمع کل = میانگین × تعداد).
• میانه: وقتی توزیع چوله است (درآمد، قیمت مسکن، زمان انتظار) یا داده‌ی پرت دارید.
• مد: برای داده‌ی دسته‌ای (پرفروش‌ترین رنگ، رایج‌ترین پاسخ) که میانگین ندارد.

نشانه‌ی چولگی: اگر میانگین از میانه بزرگ‌تر باشد، دنباله‌ی توزیع به سمت راست (مقدارهای بزرگ) کشیده شده است (چولگی مثبت)؛ و برعکس. در داده‌ی بالا ۲۷٫۴ > ۱۸ یعنی چوله به راست.

یک خاصیت جالب میانگین: جمع انحراف از میانگین همیشه صفر است، $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$؛ میانگین «نقطه‌ی تعادل» داده‌هاست.