پراکندگی: واریانس، انحراف معیار و داده‌ی پرت

هم‌میانگین، ولی نه هم‌حال

دو کلاس با میانگین ۱۵ می‌توانند کاملاً متفاوت باشند: در یکی همه ۱۴ تا ۱۶ گرفته‌اند و در دیگری نمرات از ۰ تا ۲۰ پخش‌اند. میانگین «مرکز» را می‌گوید و برای «پراکندگی» معیار دیگری لازم داریم.

• دامنه: بیشینه − کمینه. ساده ولی فقط به دو مقدار نگاه می‌کند.
• واریانس نمونه: $s^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2$، یعنی میانگین (تقریبی) مربع فاصله‌ها از میانگین.
• انحراف معیار: $s = \sqrt{s^2}$. هم‌واحد با داده است و همین آن را قابل‌تفسیر می‌کند: «معمولاً داده‌ها حدود $s$ از میانگین فاصله دارند.»

چرا $n-1$؟ وقتی با یک نمونه کار می‌کنیم، میانگین را هم از همین نمونه برآورد کرده‌ایم و داده‌ها به میانگین خودشان نزدیک‌ترند تا به میانگین واقعی جامعه. تقسیم بر $n$ واریانس را کم‌برآورد می‌کند و $n-1$ این را جبران می‌کند (تصحیح بسل). اگر کل جامعه را دارید، بر $n$ تقسیم می‌شود.

چارک‌ها، IQR و داده‌ی پرت

چارک‌ها داده‌ی مرتب را به چهار بخش هم‌تعداد می‌کنند: $Q_1$ (۲۵٪ داده‌ها کمتر از آن)، $Q_2$ = میانه و $Q_3$ (۷۵٪). دامنه‌ی میان‌چارکی $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$ پراکندگیِ «نیمه‌ی میانی داده» است و مثل میانه به پرت‌ها حساس نیست.

برای داده‌ی حقوق ($12,15,15,18,20,22,90$): $Q_1 = 15$، $Q_3 = 21$، پس $\text{IQR} = 6$. (روش درون‌یابی خطی؛ نرم‌افزارها در جزئیات چارک کمی فرق دارند.)

قاعده‌ی ۱٫۵ برابر IQR (نمودار جعبه‌ای): هر مقدار بیرون از بازه‌ی

«پرت» حساب می‌شود. برای حقوق‌ها: $[15 - 9,\ 21 + 9] = [6, 30]$. عدد ۹۰ بیرون است و پرت.

روش دیگر: z-score $z = \dfrac{x - \bar{x}}{s}$ می‌گوید داده چند انحراف معیار از میانگین فاصله دارد. معمولاً $|z| > 3$ را مشکوک می‌دانند.