احتمال شرطی و قضیه‌ی بیز

احتمال و احتمال شرطی

احتمال یک پیشامد $A$ عددی بین ۰ و ۱ است: $P(A) = \dfrac{\text{حالت‌های مطلوب}}{\text{کل حالت‌های هم‌شانس}}$. چند قاعده‌ی پایه:

• متمم: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
• اجتماع: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• استقلال: $A$ و $B$ مستقل‌اند اگر $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ (مثل دو پرتاب سکه)

احتمال شرطی: احتمال $A$ وقتی بدانیم $B$ رخ داده:

مثال: یک تاس سالم می‌اندازیم. می‌دانیم عدد زوج آمده. احتمال ۶ بودن؟ حالت‌های ممکن $\{2,4,6\}$ پس $1/3$، نه $1/6$. اطلاعات تازه فضای نمونه را کوچک کرد.

قضیه‌ی بیز: وقتی آزمایش مثبت شد، چقدر باید نگران بود؟

بیماری‌ای در ۱٪ جمعیت وجود دارد. آزمایشی داریم که:

• حساسیت: ۹۰٪ بیماران را درست مثبت می‌کند، $P(+ \mid \text{بیمار}) = 0.90$
• ۵٪ سالم‌ها را اشتباهی مثبت می‌کند، $P(+ \mid \text{سالم}) = 0.05$

آزمایش شما مثبت شده. احتمال واقعاً بیمار بودن چقدر است؟ بیشتر مردم حدس می‌زنند حدود ۹۰٪. قضیه‌ی بیز:

فقط حدود ۱۵٪! تصور کنید ۱۰٬۰۰۰ نفر آزمایش کنند: ۱۰۰ بیمار که ۹۰ نفرشان مثبت می‌شوند، و ۹٬۹۰۰ سالم که ۴۹۵ نفرشان مثبت کاذب می‌شوند. از ۵۸۵ مثبت فقط ۹۰ نفر واقعاً بیمارند ($90/585 \approx 15.4\%$).

درس: وقتی پیشامد نادر است، حتی آزمایش دقیق مثبت‌های کاذب زیاد می‌دهد. به همین دلیل این قضیه در تشخیص پزشکی، فیلتر اسپم و تشخیص تقلب اهمیت دارد. «نرخ پایه» (prevalence) را هرگز نادیده نگیرید.