توزیع دوجمله‌ای و نرمال

احتمال‌های دوجمله‌ای را حساب کنی، توزیع نرمال و قاعده‌ی ۶۸-۹۵-۹۹٫۷ را به کار ببری و z-score را به احتمال تبدیل کنی.

16 دقیقه مطالعه · 7 سؤال تمرینی · آمار و احتمال برای علم داده

توزیع دوجمله‌ای: شمارش موفقیت‌ها

nn آزمایش مستقل داریم و هر کدام با احتمال pp «موفق» می‌شود (کلیک روی تبلیغ، خرابی قطعه، شیر آمدن سکه). تعداد موفقیت‌ها X∼Binomial(n,p)X \sim \text{Binomial}(n, p) است:

P(X=k)=(nk) pk (1−p)n−k,E[X]=np,Var(X)=np(1−p)P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1-p)^{n-k}, \qquad E[X] = np, \qquad \text{Var}(X) = np(1-p)

مثال: ۵ بار سکه می‌اندازیم. احتمال دقیقاً ۳ شیر: (53)(0.5)5=10/32=0.3125\binom{5}{3}(0.5)^5 = 10/32 = 0.3125.

«حداقل ۲ موفقیت» را معمولاً از متمم حساب می‌کنیم: P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1).

توزیع نرمال و z-score

بسیاری از کمیت‌ها (قد، خطای اندازه‌گیری، میانگین نمونه‌ها) تقریباً نرمال (زنگی‌شکل) رفتار می‌کنند: X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2).

قاعده‌ی تجربی ۶۸-۹۵-۹۹٫۷: حدود ۶۸٪ داده‌ها در μ±σ\mu \pm \sigma، ۹۵٪ در μ±2σ\mu \pm 2\sigma و ۹۹٫۷٪ در μ±3σ\mu \pm 3\sigma قرار دارند.

برای محاسبه‌ی احتمال، مقدار را به z-score تبدیل می‌کنیم z=x−μσz = \dfrac{x - \mu}{\sigma} و از جدول (یا scipy.stats.norm.cdf) استفاده می‌کنیم.

مثال: بهره‌ی هوشی N(100,152)N(100, 15^2). شخصی با IQ برابر ۱۳۰ دارد z=2z = 2، و P(X<130)=Φ(2)≈0.977P(X < 130) = \Phi(2) \approx 0.977، یعنی از حدود ۹۷٫۷٪ جمعیت بالاتر است.

صدک ۹۰ (مقداری که ۹۰٪ زیر آن است) برای نرمال استاندارد z≈1.28z \approx 1.28 است.

تمرین‌های این درس را حل کن (رایگان)