نمونه‌گیری و بازه‌ی اطمینان

از نمونه به جامعه

معمولاً نمی‌توانیم همه‌ی جامعه را اندازه بگیریم (همه‌ی کاربران، همه‌ی مشتری‌ها). نمونه می‌گیریم و میانگین نمونه $\bar{x}$ را برآوردی از میانگین جامعه $\mu$ می‌دانیم. نمونه‌ی دیگر مقدار دیگری می‌دهد؛ این تغییر را با خطای معیار می‌سنجیم:

هرچه $n$ بزرگ‌تر شود، خطا کمتر می‌شود، ولی با ریشه‌ی $n$: برای نصف‌کردن خطا باید چهار برابر داده جمع کنید.

طبق قضیه‌ی حد مرکزی، توزیع $\bar{x}$ برای $n$ بزرگ حتی اگر خود داده نرمال نباشد، تقریباً نرمال است. به همین دلیل می‌توانیم بازه‌ی اطمینان بسازیم:

(برای نمونه‌های بزرگ $t^* \approx 1.96$ برای اطمینان ۹۵٪؛ برای نمونه‌ی کوچک از توزیع $t$ با $n-1$ درجه‌ی آزادی استفاده می‌شود.)

مثال: ۳۶ کاربر، میانگین زمان جلسه ۵۰ دقیقه و $s = 12$. خطای معیار $12/6 = 2$. بازه‌ی ۹۵٪ با $t^* = 2.03$ می‌شود حدود $[45.9,\ 54.1]$.

بازه‌ی اطمینان یعنی چه؟ (و چه نه)

تفسیر درست: اگر این فرایند نمونه‌گیری و ساخت بازه را بارها تکرار کنیم، حدود ۹۵٪ بازه‌ها مقدار واقعی $\mu$ را پوشش می‌دهند. «۹۵٪» به روش اشاره دارد، نه به یک بازه‌ی مشخص.

تفسیر غلط رایج: «با احتمال ۹۵٪، $\mu$ داخل همین بازه است.» $\mu$ ثابت است؛ یا داخل است یا نه.

برای نسبت‌ها: از ۴۰۰ کاربر، ۱۲۰ نفر خرید کرده‌اند، $\hat{p} = 0.30$:

اطمینان بالاتر ⇒ بازه‌ی پهن‌تر؛ نمونه‌ی بزرگ‌تر ⇒ بازه‌ی باریک‌تر.