عملگرها و رابطه‌های فازی

اشتراک، اجتماع و مکمل فازی را با نُرم‌های مختلف حساب کنی و ترکیب max-min رابطه‌ها را انجام بدهی.

13 دقیقه مطالعه · 5 سؤال تمرینی · محاسبات نرم

اشتراک، اجتماع و مکمل

عملگرهای استاندارد (زاده):

\mu_{\bar A}(x) = 1 - \mu_A(x), \quad \mu_{A \cap B}(x) = \min(\mu_A, \mu_B), \quad \mu_{A \cup B}(x) = \max(\mu_A, \mu_B)

ولی تنها انتخاب ممکن نیستند. هر عملگری که خواص لازم را داشته باشد، می‌تواند اشتراک (t-نُرم) یا اجتماع (s-نُرم) باشد:

| t-نُرم (اشتراک) | s-نُرم (اجتماع) | |---|---| | کمینه: $\min(a,b)$ | بیشینه: $\max(a,b)$ | | ضرب جبری: $ab$ | جمع احتمالاتی: $a + b - ab$ | | لوکاسیه‌ویچ: $\max(0,\ a+b-1)$ | جمع کران‌دار: $\min(1,\ a+b)$ |

قانون‌هایی که دیگر برقرار نیستند

در منطق کلاسیک $A \cup \bar A = X$ (قانون طرد شق ثالث) و $A \cap \bar A = \varnothing$ (قانون عدم تناقض) همیشه برقرارند.

با عملگرهای min و max برای عضویت $\mu$ :

\mu_{A \cup \bar A} = \max(\mu, 1-\mu) \ge 0.5, \qquad \mu_{A \cap \bar A} = \min(\mu, 1-\mu) \le 0.5

پس این دو قانون در منطق فازی برقرار نیستند، مگر وقتی $\mu$ صفر یا یک باشد. این دقیقاً همان ویژگی‌ای است که ابهام را مدل می‌کند: چیزی که «نیمه‌گرم» است، تا حدی هم گرم است و هم ناگرم.

رابطه‌ی فازی و ترکیب max-min

رابطه‌ی فازی $R$ بین $X$ و $Y$ یک مجموعه‌ی فازی روی $X \times Y$ است و معمولاً به‌صورت ماتریس نوشته می‌شود.

اگر $R$ روی $X \times Y$ و $S$ روی $Y \times Z$ باشد، ترکیب max-min آن‌ها:

(R \circ S)(x, z) = \max_{y}\ \min\big(R(x, y),\ S(y, z)\big)

درست مثل ضرب ماتریس، با این تفاوت که ضرب جای خودش را به min و جمع جای خودش را به max داده است. این عملگر پایه‌ی قاعده‌ی ترکیبی استنتاج زاده است.

تمرین‌های این درس را حل کن (رایگان)